هیزن ویلیامز یا دارسی ویسباخ؟ مقایسه دقت محاسبه افت هد در خطوط انتقال آب و فاضلاب

واقعیت این است که در جریان آشفته سیستم‌های تحت فشار آب و فاضلاب، هیچ معادله نظری بی‌نقصی برای محاسبه افت هد وجود ندارد، چرا که همه معادلات این حوزه تجربی‌اند.

در محیط‌های دانشگاهی، اساتید هیدرولیک عمدتاً معادله «دارسی-ویسباخ» را تنها رابطه معتبر می‌دانند و چندان به هیزن-ویلیامز اهمیت نمی‌دهند. برای مثال، در کتاب مشهور مکانیک سیالات استریتر، یکی از منابع اصلی آموزشی این رشته در دانشگاه‌ها، حتی اشاره‌ای به معادله هیزن–ویلیامز نشده است. با این حال، مهندسان در ادارات آب و فاضلاب یا دفاتر مهندسی مشاور، به طور گسترده‌ از معادله هیزن-ویلیامز استفاده می‌کنند. چرا این تناقض وجود دارد؟

برتری تئوریک معادله دارسی-ویسباخ غیرقابل‌انکار است و دلایل محکمی هم پشت این ادعاست. این معادله برپایه تعادل نیروها استوار است: تقابل بین نیروهای فشار و گرانش که سیال را به جلو می‌رانند و اصطکاک و آشفتگی که جریان را کند می‌کنند. معادله دارسی-ویسباخ به آب در دمای اتاق محدود نمی‌شود و برای هر سیال نیوتنی کاربرد دارد. علاوه بر این، می‌تواند طیف گسترده‌ای از زبری سطح و انواع مختلف لایه مرزی را پوشش دهد.

1.چرا مهندسان طراح از دارسی-ویسباخ استفاده نمی‌کنند؟

متغیرهای این معادله کاملاً شناخته‌ شده‌اند: افت هد (h)، طول (L)، قطر (D)، سرعت (V)، شتاب گرانش (g)، ضریب اصطکاک (f). اما وقتی معادله دارسی-ویسباخ در اواسط دهه ۱۸۰۰ مطرح شد، هیچ روش قابل‌ اعتمادی برای تعیین ضریب اصطکاک (f) وجود نداشت. با هر بار اندازه‌گیری، عدد متفاوتی به دست می‌آمد، یک ثابت چه فایده‌ای دارد اگر ثابت و قابل اتکا نباشد؟ و به این تریتب در طراحی‌های مهندسی عملاً بلا استفاده بود.

در همان دوران، دو مهندس آمریکایی، آلن هیزن و گاردنر ویلیامز، معادله ساده‌تری ارائه دادند. معادله‌ی آن‌ها زبری لوله را با یک پارامتر ثابت، ضریب C هیزن-ویلیامز، توصیف می‌کرد. همین سادگی بود که معادله هیزن-ویلیامز را در صنعت محبوب کرد. شبکه‌های طراحی‌شده براساس آن در عمل کارآمد بودند و برای مهندسان طراح و اجرایی، همین نتیجه عملی کفایت می‌کرد.

2.چالش محاسبه ضریب اصطکاک f و معادله کول‌بروک-وایت

در همان سال‌ها، تحقیقات گسترده‌ای درباره‌ی ضریب اصطکاک لوله‌ها (در معادله دارسی-ویسباخ) در حال انجام بود که سرانجام به ارائه معادله کول‌بروک-وایت (Colebrook-White) انجامید. اما پیچیدگی محاسبه ضریب f  با معادله کول‌بروک-وایت یکی از دلایل اصلی مقاومت مهندسان در برابر استفاده از رابطه دارسی-ویسباخ بود:

در معادله کول‌بروک-وایت برای محاسبه f یک مشکل اساسی وجود دارد: ضریب f در هر دو طرف معادله ظاهر می‌شود و نمی‌توان آن را به‌صورت صریح محاسبه کرد.

اندازه نسبی دو مولفه زبری نسبی و اثرات لزجت، مکانیسم غالب در افت هد ناشی از اصطکاک را تعیین می‌کند و در نتیجه نوع جریان آشفته را مشخص می‌سازد:

مولفه اول (زبری نسبی): وقتی مقدار مولفه اول (ε/D) بزرگ باشد، نیروهای لزجت اهمیت چندانی ندارند و f عملا توسط زبری (ε) کنترل می‌شود. این همان ناحیه‌ای است که در نمودار مودی به‌صورت خطوط افقی در گوشه بالا-راست نمایان می‌شود.

مولفه دوم (اثرات لزجت): اگر مقدار مولفه دوم ((Re √f)/9.35) بسیار بزرگ‌تر از مقدار مولفه اول باشد، اثر زبری ناچیز می‌شود و نیروهای لزجت غالب می‌گردند. این حالت در لوله‎‌های بسیار صاف رخ می‌دهد.

حالت گذار: وقتی هر دو مولفه هم‌مرتبه باشند، هیچ‌یک را نمی‌توان نادیده گرفت. در این حالت باید هم زبری و هم نیروهای لزجت را در محاسبات در نظر گرفت.

معادله کول‌بروک-وایت نه‌تنها ضریب اصطکاک f را به‌درستی محاسبه می‌کند، بلکه تصویر روشنی از ماهیت جریان آب در لوله‌ها را نشان می‌دهد. بر این اساس و بسته به اینکه کدام نیروها در سیال غالب باشند، سه نوع جریان آشفته وجود دارد: صاف، انتقالی و زبر.

با این حال، نقطه قوت معادله کول‌بروک-وایت – یعنی در نظر گرفتن هر سه نوع جریان آشفته – هم‌زمان نقطه ضعف آن نیز هست. در نظر گرفتن سه نوع جریان دو پیامد مهم دارد:

• نه می‌توان مانند هیزن-ویلیامز یک ضریب C ثابت برای لوله تعریف کرد.
• نه می‌توان f را به‌صورت صریح و راحت محاسبه کرد.

برای غلبه بر این چالش در اوایل دهه ۱۹۴۰، لوئیس مودی نمودار معروف خود را ارائه داد که بعدها به نمودار مودی شهرت یافت. با داشتن زبری نسبی و عدد رینولدز، مقدار f  را به‌صورت گرافیکی استخراج می‌کرد. پیش از وجود رایانه‌ها، نمودار مودی بهترین ابزار برای مهندسان بود.

3.معادله سوامی-جین

پس از ظهور رایانه‌ها، جستجو برای یافتن معادله‌ای صریح جهت تعیین f جدی‌تر شد و به یکی از پرتکرارترین مسائل تحقیقاتی در هیدرولیک تبدیل شد. همه می‌خواستند فرمولی ارائه دهند که خروجی آن با کول‌بروک-وایت منطبق باشد. راه‌حل‌های متعددی پیشنهاد شد و در نهایت معادله سوامی-جین (۱۹۷۶) به‌عنوان گزینه برتر مورد اجماع محققان قرار گرفت.

حالا سوال اصلی این است: با وجود دستیابی به این معادله‌های نسبتاً دقیق و صریح، آیا مهندسان به معادله دارسی-ویسباخ روی آوردند؟ نه کاملاً. معادله هیزن-ویلیامز آنقدر در صنعت آب و  فاضلاب ریشه دوانده که هنوز هم معادله اول اکثر مهندسان است. مهندسان سال‌هاست با آن کار می‌کنند، ضریب C را می‌شناسند و به آن اعتماد دارند. پس چه نیازی به تغییر است؟

4.نقطه والسکی و اصلاح ضریب C

این مقاله دقیقاً به همین سوال می‌پردازد: نتایج دو معادله دارسی-ویسباخ و هیزن-ویلیامز چقدر با هم فرق می‌کنند؟

پیش از بررسی اختلاف دو معادله، باید یک مفهوم پایه‌ای را روشن کنیم: برای هر لوله و سیال مشخص، یک سرعت (یا عدد رینولدز) خاص وجود دارد که در آن، پیش‌بینی هر دو معادله دارسی-ویسباخ و هیزن-ویلیامز از میزان افت هد، یکسان است. این نقطه را «نقطه والسکی» (Walski Point) می‌نامند.

این نقطه متناظر با سرعتی است که طی آزمایش‌های میدانی یا آزمایشگاهی برای تعیین زبری لوله ثبت شده است. با فاصله گرفتن از این سرعت مرجع، مقادیر افت هد محاسبه‌شده توسط دو معادله به‌تدریج از هم فاصله می‌گیرند. این اختلاف در لوله‌های صاف یا در محدوده جریان انتقالی، چندان قابل توجه نیست، اما در لوله‌های زبر (جریان کاملا زبر)، با تغییر سرعت جریان، اختلاف بین نتایج دو معادله به‌طور فزاینده‌ای بیشتر می‌شود. اما این اختلاف دقیقاً چه اندازه است؟

سال‌ها پیش، توماس والسکی (نویسنده همین مقاله) بدترین حالت واگرایی بین این دو معادله را بررسی کرد و بر اساس آن، یک رابطه‌ی تجربی ساده برای اصلاح ضریب C بر حسب سرعت جریان ارائه کرد.

بر مبنای این رابطه، چنانچه ضریب C (C0) در سرعت (V0) اندازه‌گیری شده باشد، می‌توان مقدار این ضریب را برای هر سرعت جدیدی اصلاح کرد:

برای آشنایی بیشتر با این رابطه، به Walski (1984) مراجعه شود.

برای درک بهتر، یک حالت حدی را درنظر بگیرید: فرض کنید ضریب C اندازه‌گیری‌شده در سرعت 0.61 متربرثانیه برابر ۸۰ است. اگر بخواهیم ضریب C را در سرعت 3 متر بر ثانیه برون‌یابی کنیم، مقدار اصلاح شده  ضریب C برابر ۷۰ خواهد بود. اما ضریب C معمولاً در سرعت 1.5 متربرثانیه اندازه‌گیری می‌شود و نهایتاً برای سرعت‌هایی مانند سرعت 2.5 متربرثانیه، استفاده می‌شود. در این شرایط، مقدار اصلاح‌شده ضریب C برابر 77 خواهد بود.

اگرچه این اختلاف مقادیر C چندان قابل ملاحظه به نظر نمی‌رسند، اما حاوی یک نکته مهم مهندسی است. ضریب C در جریان کاملاً زبر (Fully Rough Flow) نباید خیلی دور از سرعت اندازه‌گیری اولیه برون‌یابی شود و در اغلب موارد، اختلاف مقادیر ضریب C محاسبه شده اندک بوده و در محدوده خطای اندازه‌گیری C قابل قبول باقی می‌ماند.

برای ارزیابی دقیق‌تر میزان اهمیت این اختلاف در یک لوله زبر واقعی، یک مدل‌سازی هیدرولیکی در نرم‌افزار FlowMaster با مشخصات زیر تحلیل شده است.

• دبی: 25L/S
• سرعت: 0.8m/s
• قطر لوله: 200mm
• طول لوله: 150m
• زبری مطلق: ε = 0.5 mm
• ضریب اصطکاک دارسی: f = 0.056
• افت هد: 1.2m

با استفاده از این اطلاعات، مقدار ضریب C برابر ۸۱ است.

اکنون اگر دبی جریان دو برابر شود، شرایط به صورت زیر تغییر خواهد کرد:

• دبی: 50L/s
• سرعت: 1.6m/s
• ضریب اصطکاک دارسی: f = 0.053
• افت هد: 4.9m

در این شرایط، زبری لوله ثابت باقی می‌ماند. برای آنکه همین شرایط هیدرولیکی با معادله هیزن–ویلیامز نیز متناظر باشد، مقدار ضریب C باید به 77 کاهش یابد. این مقدار، هم با استفاده از نرم‌افزار FlowMaster و هم با بهره‌گیری از رابطه والسکی قابل محاسبه است.

بررسی‌ها نشان می‌دهد که واگرایی مقدار افت هد بین دو معادله برای این لوله تنها در سرعت‌های (یا دبی‌های) بالا قابل توجه است و حتی در دبی‌های بالا نیز اختلاف در مقدار افت هد چندان زیاد نیست.

تا زمانی که ضریب C در لوله‌های زبر و سرعت پایین اندازه‌گیری نشده باشد و برای سرعت‌های بسیار بالاتر به کار نرود، نتایج حاصل از معادلات دارسی–ویسباخ و هیزن–ویلیامز هم‌گرایی قابل قبولی خواهند داشت.

در غیر این صورت، می‌توان با استفاده از رابطه والسکی، ضریب C را تا حدی اصلاح و کاهش داد تا خطای محاسباتی را جبران کند. همچنین باید توجه داشت که آزمایش‌های تعیین ضریب C معمولاً در سرعت‌های نسبتاً بالا انجام می‌شوند، که این خود ریسک برون‌یابی را کاهش می‌دهد.

در پاسخ به پرسش اصلی این مقاله: آیا معادله هیزن–ویلیامز واقعاً برای طراحی شبکه‌های آب و فاضلاب معادله نامناسبی است؟ باید گفت:

پاسخ قطعا منفی است. این معادله در بسیاری از کاربردهای مهندسی عملکرد مناسبی دارد؛ با این حال، آگاهی از محدودیت‌ها و دامنه کاربرد آن برای استفاده صحیح و تفسیر دقیق نتایج ضروری است.

منابع:

• Swamee, P.K. and Jain, A.K., 1976, “Explicit Equation for Pipe Flow Problems,” ASCE Hydraulic Division, 102:HY5, p. 657.
• Walski, T., 1984, Analysis of Water Distribution Systems, Van Nostrand Reinhold, New York.

این مقاله ترجمه و بازنویسی مقاله منتشرشده در وبلاگ رسمی Bentley Systems است. در فرآیند ترجمه، برخی توضیحات، مثال‌ها و معادل‌های فارسی برای افزایش خوانایی و درک بهتر مخاطبان فارسی‌زبان اضافه شده است.

نسخه اصلی مقاله را می‌توانید از طریق لینک زیر مطالعه کنید:

?Exactly How Bad Is the Hazen-Williams Head Loss Equation for Water and Wastewater